Les méthodes éléments discrets ont été introduites par Hoover et al. en 1974, afin de développer des modèles de matériaux cristallins, et Cundall et Strack en 1979, pour effectuer des calculs de géotechnique. Dès lors, ces méthodes ont trouvé un large champ d'applications allant des matériaux granulaires à la mécanique des sols et des roches.
Dans le code Mka3D, développé au CEA et présenté dans [5], les auteurs ont pu simuler avec des éléments discrets la déformation et la fragmentation d'un solide tri-dimensionnel linéaire élastique à rupture fragile. La discrétisation est effectuée par l'intermédiaire de cellules polyédriques de Voronoi considérées comme des solides rigides. Le calcul des forces et des moments entre particules voisines est alors effectué à l'aide de grandeurs macroscopiques comme la distance et la rotation relative entre deux cellules.
Le but de cette présentation est de présenter une méthode de Galerkine discontinue d'ordre minimal formulée sur des polyèdres convexes, dans l'esprit de [1] et qui généralise l'approche précédente. Cette méthode est présentée comme une discrétisation naturelle de la formulation faible des équations de l'élasticité linéaire. La méthode utilise des reconstructions constantes par cellules et sa convergence et est étudiée dans le cadre de la théorie des méthodes de discrétisation de gradients développée récemment et présentée dans [2]. Des inconnues volumiques sont également ajoutées afin de permettre un calcul rigoureux des comportements élastoplastiques. Les comportements étudiés seront, par exemple, la plasticité dynamique anisotherme de Johson-Cook [3].
En complément, un couplage avec une méthode d'intégration temporelle explicite, introduite dans [4] et qui conserve une pseudo-énergie tout en supportant l'utilisation de pas de temps variables, sera présenté. Une perspective concernant le calcul de solutions discontinues en espace, telles des chocs apparaissant dans les calculs de dynamique non-linéaire par exemple, sera présentée.

References
[1] Daniele A Di Pietro. Cell centered Galerkin methods for diffusive problems. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 46(1):111–144, 2012.
[2] Jérôme Droniou, Robert Eymard, Thierry Gallouët, Cindy Guichard, and Raphaele Herbin. The gradient discretisation method, volume 82. Springer, 2018.
[3] G.R. Johnson and W.H. Cook. A constitutive model and data for metals subjected to large strains; high strain rates and high temperatures. 1983.
[4] Frédéric Marazzato, Alexandre Ern, Christian Mariotti, and Laurent Monasse. An explicit pseudo-energy conserving time-integration scheme for Hamiltonian dynamics. November 2018. https://hal-enpc.archives-ouvertes.fr/hal-01661608.
[5] Laurent Monasse and Christian Mariotti. An energy-preserving discrete element method for elastodynamics. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 46:1527–1553, 2012.