Dumitrescu [4] a été l'un des premiers à déterminer analytiquement la forme et la vitesse terminale d'une bulle d'air infiniment longue confinée dans un tube rempli d'un liquide au repos. Il utilisa la théorie des écoulements potentiels pour calculer la fonction de courant ψ, en plus de l'équation de Bernoulli appliquée sur la surface de la bulle. Il conclut avec une précision remarquable que l'écoulement (pour des effets interfaciaux négligeables) se faisait à nombre de Froude constant égal à 0,351. Sa méthode de résolution fut reprise par nombre d'auteurs ([3], [6], [2], [1], et [5]) pour des problèmes de complexité croissante, considérant par exemple l'entrainement dû à l'écoulement liquide dans le tube ([6], [2], [1], et [5]), des profils turbulents de vitesse à l'infini ([2] et [1]), et les effets de tension de surface ([6], [1], et [5]). Globalement, deux méthodes de résolution différentes sont utilisées. La première commune au travaux [1], [3], [4], et [6] consiste à développer les équations en séries de Taylor et de résoudre l'équation polynomiale ainsi obtenue. Cette méthode est nommée the Power Series Resolution (PSR). La deuxième aussi appelée the Total Derivative Method (TDM) et utilisée par [2] et [5], et consiste à déterminer les dérivées successives de l'équation de Bernoulli puis de les égaliser à zéro, donnant le système à résoudre. Les vitesses de poche obtenues avec ces méthodes vérifient les résultats expérimentaux présents dans la littérature pour des valeurs de tension de surface modérées.

References

[1] K. H. Bendiksen, ‘On the motion of long bubbles in vertical tubes', IJMF vol. 11, no. 6, (1985) 797–812.

[2] R. Collins, F. F. D. Moraes, J. F. Davidson, and D. Harrison, ‘The motion of a large gas bubble rising through liquid flowing in a tube', JMF, vol. 89, no. 3, pp. 497–514, Dec. 1978.

[3] R. M. Davies and G. I. Taylor, ‘The mechanics of large bubbles rising through extended liquids and through liquids in tubes', Proc. R. Soc. Lond. A, vol. 200, no. 1062, pp. 375–390, Feb. 1950.

[4] D. T. Dumitrescu, ‘Strömung an einer Luftblase im senkrechten Rohr', ZAMM - JAMM / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, vol. 23, no. 3, pp. 139–149, Jan. 1943.

[5] H. V. Nickens and D. W. Yannitell, ‘The effects of surface tension and viscosity on the rise velocity of a large gas bubble in a closed, vertical liquid-filled tube', IJMF, vol. 13, no. 1, pp. 57–69, Jan. 1987.

[6] K. W. Tung and J.-Y. Parlange, ‘Note on the motion of long bubbles in closed tubes-influence of surface tension', Acta Mechanica, vol. 24, no. 3, pp. 313–317, Sep. 1976.