Un algorithme pour la résolution des équations d'Euler, permettant la simulation d'écoulements compressibles à tout nombre de Mach, réguliers ou non, stationnaires ou non, est présenté [1]. Il ne nécessite aucun ajustement de paramètre dépendant du problème considéré, et il assure une représentation précise de la propagation des ondes acoustiques et entropiques/de vorticité.

L'algorithme est formulé dans un cadre de discrétisation par volumes finis avec variables co-localisées. Il est basé sur un schéma itératif de type prédicteur-correcteur proche de celui présenté dans notre précédent travail [2]. Durant l'étape de prédiction, la pression est figée et les équations de continuité et de quantité de mouvement sont résolues de manière à fournir une estimation de la masse volumique et de la quantité de mouvement. L'étape de correction comprend la résolution de l'équation de l'énergie écrite sous la forme d'une équation pour les corrections de pression. Sa résolution permet ensuite la mise à jour des variables estimées ou figées pendant l'étape de prédiction.

L'approche que nous proposons dans la présente étude repose sur une décomposition de type AUSM du flux des équations d'Euler, c'est-à-dire que ce flux est décomposé en une somme des termes advectifs et des termes de pression. Les deux types de termes sont discrétisés de manière différente, à la fois dans la définition du schéma de flux et dans l'équation de l'énergie à partir de laquelle sont obtenues les corrections de pression. Un nouveau schéma de flux, appelé MIAU (pour Momentum Interpolation with Advection Upstream), est proposé. Ce schéma de flux possède deux propriétés clés : (1) la prise en compte du terme inertiel dans l'équation de la quantité de mouvement utilisée pour déterminer la vitesse transportante ; (2) la présence d'un terme en différence de vitesse dans l'expression de la pression à la face ; ce terme est mis à l'échelle en fonction du nombre de Mach.

Les choix algorithmiques et la construction du schéma de flux MIAU permettent d'assurer que le comportement à bas nombre de Mach du système continu est retrouvé au niveau discret, à la fois pour les limites asymptotiques hydrodynamique et acoustique.

Les résultats de simulation sur des configurations en géométries mono et bi-dimensionnelles sont ensuite présentés de manière à illustrer les possibilités de cette approche. Ces tests montrent notamment que la méthode proposée permet une représentation précise d'écoulements dans lesquels le nombre de Mach peut varier de zéro à quelques centaines. De plus, les ondes acoustiques qui peuvent être présentes dans ces écoulements sont également simulées de manière précise, ce qui rend la méthode que nous proposons prometteuse pour des applications aéroacoustiques.

[1] Y. Moguen, P. Bruel, E. Dick. A combined momentum-interpolation and advection upstream splitting pressure-correction algorithm for simulation of convective and acoustic transport at all levels of Mach number. Accepté pour publication dans J. Comput. Phys..

[2] Y. Moguen, T. Kousksou, P. Bruel, J. Vierendeels, E. Dick. Pressure-velocity coupling allowing acoustic calculation in low Mach number flow. J. Comput. Phys., 231:5522–5541, 2012.