De façon générale, la commande des écoulements vise à modifier l'état d'un écoulement donné pour l'amener d'un état courant à un état désiré ou encore à le maintenir dans son état courant quelles que soient les perturbations.

Nous nous focalisons dans cet article sur le cas d'une couche de mélange spatiale plane induite par deux écoulements en co-courant de vitesses différentes. Ce type d'écoulement est convectivement instable et amplifie toute perturbation. Le but recherché ici est de concevoir une loi de commande en boucle fermée permettant de minimiser le mélange dû à la turbulence et cela en présence de perturbations exogènes supposées inconnues. L'actionneur est supposé agir en amont, au niveau de la plaque séparatrice des deux écoulements, tel le jet pariétal d'un actionneur plasma type DBD. Par perturbation exogène nous entendons ici toute perturbation ne vivant pas dans le même espace que cet actionneur, comme par exemple un évènement venant perturber l'écoulement en aval. Les perturbations considérées ici sont donc de nature foncièrement différente à celles traitées dans [1]. En revanche, comme dans [1], nous procédons à une linéarisation des équations de Navier-Stockes autour de l'écoulement désiré (et non perturbé) conduisant à une représentation d'état décrite via un système linéaire et invariant. Ce modèle de commande met en évidence la matrice d'évolution A et le vecteur Bu. Ce vecteur traduit comment l'action u modifie spatialement l'écoulement, cette action étant décrite pas un scalaire car nous nous trouvons dans le cas d'un seul degré de liberté commandé. Ce modèle met également en évidence un autre vecteur, le vecteur Bv, qui traduit l'effet de la perturbation v sur l'écoulement.

Il a été montré dans [2] que dans le cas où Bu et Bv sont proportionnels, la commande u peut annuler complétement l'effet de la perturbation v. Sinon, et c'est précisément le cas considéré dans notre étude, elle ne peut être qu'atténuée. Nous montrons également que le cas à un seul degré de liberté commandé est le plus défavorable pour rejeter efficacement une perturbation exogène. C'est également le cas de notre couche de mélange.

L'approche retenue pour minimiser l'impact d'une perturbation exogène sur notre écoulement s'appuie sur la décomposition de la loi de commande en deux termes. Le premier terme est un terme de régulation. Le second vise à rejeter la perturbation. Il repose sur la minimisation d'un critère et sur la synthèse d'un observateur de la grandeur Bv.v (la fonction de pénétration de la perturbation impliquée dans Bv est logiquement supposée inconnue puisque la nature de la perturbation l'est). Dans ces conditions nous prouvons que le système bouclé converge localement. Ces résultats théoriques sont ensuite validés numériquement via l'utilisation d'un solveur des équations de Navier-Stokes (Incompat3D).

[1] D. Anda-Ondo, J. Carlier, C. Collewet. Closed-loop control of a spatially developing free shear flow around a steady state. In 20th IFAC World Congress, Toulouse, France, July 2017.

[2] C.D. Johnson. Accommodation of External Disturbances in Linear Regulator and Servomechanism Problem. IEEE Transactions on Automatic Control, 635-644, December 1971.

[3] J. Yang, A. Zolotas, W-H. Chen, K. Michail et S. Li. Robust control of nonlinear MAGLEV suspension system with mismatched uncertainties via DOBC approach. ISA Transactions, 50, 389–396, 2011.