Lorsque l'échelle de la structure et l'échelle des hétérogénéités ne sont pas séparées, un calcul par éléments finis nécessite en principe que toutes les hétérogénéités soient maillées. La génération du maillage et le calcul de structure associé peuvent alors être très coûteux. La méthode des éléments finis multi-échelle (MsFEM) permet de s'affranchir de cette exigence en introduisant pour chaque élément des fonctions de forme spécifiques qui tiennent compte des hétérogénéités qu'il contient.

En mécanique des milieux continus, le cadre méthodologique (comment générer de bonnes fonctions de forme enrichies) et théorique (estimateurs d'erreur a priori et a posteriori) de cette approche est maintenant bien établi (Efendiev et Hou, 2009 ; Chamoin et Legoll, 2018). Ainsi, les fonctions de forme MsFEM sont généralement définies comme la solution d'un problème d'élasticité auxiliaire dans lequel des déplacements affines sont imposés au bord de l'élément.

Nous proposons une extension de l'approche MsFEM aux plaques hétérogènes. Comme pour les formulations de type solid shell (Abed-Meraim et Combescure, 2002), le maillage de la plaque comporte un unique élément (parallélépipède) dans l'épaisseur. Le problème auxiliaire permettant la génération des fonctions de forme enrichies se distingue de celui couramment utilisé en mécanique du milieu continu afin de rendre compte des spécificités du comportement des plaques.

Tout d'abord, il n'est pas nécessaire d'assurer la continuité des déplacements en faces supérieure et inférieure. Nous supposons donc ces deux faces libres de contraintes dans le problème auxiliaire. Un tel choix est compatible avec le comportement en contraintes planes observé dans les plaques homogènes.

La continuité des déplacements doit en revanche être assurée le long des bords verticaux de ces éléments : les déplacements sont donc prescrits le long de ces bords dans le problème auxiliaire. L'analyse asymptotique des plaques homogènes montre qu'il est essentiel d'autoriser les variations d'épaisseur de la plaque (Braess, Sauter et Schwab, 2011). Par analogie avec les modèles hiérarchiques de plaques homogènes, on impose des déplacements linéaires dans la direction horizontale, et quadratiques dans la direction verticale (Paumier et Raoult, 1997 ; Rössle et coll., 1999).

Dans cet exposé, nous présenterons tout d'abord le cadre général de la nouvelle méthodologie proposée. Puis nous montrerons la pertinence de l'approche sur quelques exemples numériques. Nous donnerons enfin quelques indications quant à la justification mathématique de cette approche.

Références

F. Abed-Meraim et A. Combescure (2002). SHB8PS––a new adaptative, assumed-strain continuum mechanics shell element for impact analysis. Computers & Structures 80(9), 791–803. doi:10.1016/S0045-7949(02)00047-0

D. Braess, S. Sauter et C. Schwab (2011). On the Justification of Plate Models. Journal of Elasticity, 103(1), 53–71. doi:10.1007/s10659-010-9271-8

L. Chamoin et F. Legoll (2018). A posteriori error estimation and adaptive strategy for the control of MsFEM computations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 336, 1–38. doi:10.1016/j.cma.2018.02.016

Y. Efendiev et T. Y. Hou (2009). Multiscale Finite Element Methods – Theory and Applications (Vol. 4). New York: Springer-Verlag.

J.-C. Paumier et A. Raoult (1997). Asymptotic consistency of the polynomial approximation in the linearized plate theory. ESAIM: Proceedings, 2, 203–213. doi:10.1051/proc:1997018

A. Rössle, M. Bischoff, W. Wendland et E. Ramm (1999). On the mathematical foundation of the (1,1,2)-plate model. International Journal of Solids and Structures, 36(14), 2143–2168. doi:10.1016/S0020-7683(98)00071-7