L'idée générale est de construire un modèle macroscopique dont les variables d'état contiennent en chaque point matériel, des descripteurs statistiques de la microstructure, par exemple la distribution de désorientation cristalline, la distribution de taille et forme des grains. Ces distributions statistiques sont trop détaillées pour être utilisées à l'échelle macroscopique, mais on peut les résumer par une moyenne et un écart type en chaque point matériel. Cette ambition vient du peu d'informations traitées habituellement à l'échelle macroscopique sur l'état de la microstructure.

La stratégie générale consiste à se placer dans le cadre des milieux continus généralisés caractérisés par une densité massique d'énergie libre et un potentiel caractérisant la puissance dissipée au cours des évolutions. Ces deux potentiels apparaissent dans l'équation globale des bilans (combinaison du premier et second principe de la thermodynamique), qui doit être vérifiée pour toute évolution possible. Les potentiels dépendent des variables d'état macroscopique et de leurs dérivées temporelles. Ils déterminent le comportement et les équations d'évolution des variables d'état (donc de la microstructure à l'échelle macroscopique). Le travail consiste à fabriquer ces potentiels, non de manière axiomatique avec une calibration expérimentale macroscopique, mais statistiquement sur la base d'un très grand nombre de calculs à l'échelle locale du polycristal. Il s'agit de quantifier pour chaque évolution, l'énergie totale des joints de grain et la puissance dissipée en fonction de variables d'état macroscopiques caractérisant les distributions statistiques de la microstructure. On en déduit in fine des lois d'évolution macroscopiques enrichies.

Pour faire simple, on se place dans le cadre de la croissance de grain d'un métal monophasé sans diffusion ou ségrégation d'éléments d'alliage. Pour tester cette idée de changement d'échelle, il est donc nécessaire d'établir un outil de simulation à l'échelle du polycristal qui soit suffisamment simple et rapide pour autoriser un grand nombre de simulations sur des microstructures très variées, quitte à négliger certains détails se produisant à cette échelle. Les modélisations de croissance de grain reposant sur les éléments finis mobiles, les fonctions de niveau, les champs de phase ou la dynamique moléculaire sont trop coûteux pour être utilisées dans ce cadre. Cet article se focalise donc sur la construction d'un modèle « jouet » simple de croissance de grain. On utilise en général des outils de tessellation de Voronoi-Laguerre pour générer une approximation d'une microstructure polycristalline (on assigne également à chaque grain une orientation cristalline). On peut donc approximer l'évolution réelle de la microstructure comme une succession d'approximations par tessellation. Il devient alors assez naturel de tenter d'écrire les lois d'évolution de la microstructure directement sur les paramètres définissant la tessellation (positions des seeds, poids et orientation associés à chaque grain).

Puisque les phénomènes de mobilité sont visqueux, on écrit la variation temporelle des paramètres de tessellation en fonction des forces thermodynamiques (définies comme les dérivées partielles de l'énergie par rapport aux paramètres de tessellation, calculées numériquement). L'enjeu est de garantir que l'évolution de la microstructure soit cohérente avec des évolutions obtenues par des lois locales reliant la vitesse des joints avec l'énergie de joint de grain et la courbure. Comme il n'y a pas de courbure dans une microstructure construite par tessellation, on s'assure que l'évolution d'un grain sphérique isolé est identique à son approximation par tessellation. On comparera aussi ce modèle simple à des modèles par sommets (vertex models).

Ce modèle permet de simuler la croissance/réduction des tailles de grains et la disparition des certains grains au profit d'autres. Par ailleurs, ce modèle jouet est très léger en terme calculatoire et permet de calculer un très grand nombre d'évolutions, dans l'optique de changement d'échelle décrite plus haut.