Les problèmes de complétion de données interviennent dans divers domaines de la physique, tels que la mécanique, l'acoustique ou la thermique. La mesure directe des conditions aux limites se heurte souvent à l'impossibilité de placer l'instrumentation adéquate. La détermination de ces données n'est alors possible que grâce à des informations complémentaires. Des mesures surabondantes sur une partie accessible de la frontière mènent à la résolution d'un problème inverse de type Cauchy. Cependant, dans certains cas, des mesures directes sur la frontière sont irréalisables, des mesures de champs plus facilement accessibles permettent de pallier ce problème. La littérature propose un grand nombre de méthodes inverses pour résoudre les problèmes inverses de complétion de données [1, 2, 3].
Nous présentons des méthodes de régularisation évanescente [4, 5] qui permettent de trouver, parmi toutes les solutions de l'équation d'équilibre, la solution du problème de complétion de données qui s'approche au mieux des données de type Cauchy ou de champs partiels. Ces processus itératifs ne dépendent pas d'un coefficient de régularisation et sont robustes vis à vis du bruit sur les données, qui sont recalculées et de ce fait débruitées. Nous nous intéressons, dans un premier temps, à la résolution de problèmes de Cauchy associés à l'équation d'Helmholtz [6]. Une étude numérique est menée, en utilisant la méthode des solutions fondamentales en tant que méthode numérique pour discrétiser l'espace des solutions de l'équation d'Helmholtz. Des reconstructions précises attestent de l'efficacité et de la robustesse de la méthode. Nous présentons, dans un second temps, la généralisation de la méthode de régularisation évanescente aux problèmes de complétion de données à partir de mesures de champs partielles [7]. Des simulations numériques, pour l'opérateur de Lamé, dans le cadre des éléments finis et des solutions fondamentales, montrent la capacité de la méthode à compléter et débruiter des données partielles de champs de déplacements et à identifier les conditions aux limites en tout point de la frontière. Nous retrouvons des reconstructions précises et un débruitage efficace des données lorsque l'algorithme est appliqué à des mesures réelles issues de corrélation d'images numériques. Un éventuel changement de comportement du matériau est détecté grâce à l'analyse des résidus de déplacements.

Références
[1] R. Lattès and J.-L. Lions. Méthode de quasi-réversibilité et applications. 1967.
[2] A. N. Tikhonov and V. Y. Arsenin. Solution of Ill-Posed Problems. John Wiley and Sons, Inc, 1977.
[3] V. A. Kozlov, V. G. Maz'ya, and A. V. Fomin. An iterative method for solving the Cauchy problem for elliptic equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 31 :45–52, 1991.
[4] A. Cimetière, F. Delvare, and F. Pons. Une méthode inverse à régularisation évanescente. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series IIB-Mechanics, 328(9) :639–644, 2000.
[5] A. Cimetière, F. Delvare, M. Jaoua, and F. Pons. Solution of the Cauchy problem using iterated Tikhonov regularization. Inverse Problems, 17(3) :553, 2001.
[6] L. Caillé, F. Delvare, L. Marin, and N. Michaux-Leblond. Fading regularization MFS algorithm for the Cauchy problem associated with the two-dimensional Helmholtz equation. International Journal of Solids and Structures, 125 :122–133, 2017.
[7] L. Caillé, J.-L. Hanus, F. Delvare, and N. Michaux-Leblond. MFS fading regularization method for the identification of boundary conditions from partial elastic displacement field data. European Journal of Computational Mechanics, pages 1–32, 2019.