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Nouvel outil de prototypage d'équations différentielles, application aux modèles de films
1 : Laboratoire Optimisation de la Conception et Ingénierie de l'Environnement
(LOCIE)
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Site web
CNRS : FRE3220, Université de Savoie
Campus scientifique Savoie Technolac 73376 Le Bourget du Lac - CEDEX -
France
2 : Laboratoire Optimisation de la Conception et Ingénierie de lÉnvironnement
(LOCIE)
* : Auteur correspondant
Centre National de la Recherche Scientifique, Université Savoie Mont Blanc : UMR5271
Scikit-fdiff (anciennement Triflow) a été développé en interne afin de faciliter le prototypage de modèles mathématique. Il a été créé afin d'essayer rapidement les différents modèles de films ruisselants avec divers couplages (thermique, transfert de masse) obtenus par approche asymptotique.
La méthode des lignes est utilisée : les dérivées spatiales sont discrétisées pour mener à un système d'équations ordinaires. Il est alors possible d'utiliser un solveur temporel pour résoudre ce système.
Scikit-fdiff automatise ces étapes en effectuant symboliquement la discrétisation par différences finies. Cette discrétisation inclue la prise en compte de conditions limites complexes, et est capable de gérer un nombre arbitraire de dimensions. La matrice jacobienne associée est elle aussi obtenue par calcul formel, évitant son approximation numérique. Ces formes symboliques sont ensuite traduites en routine numérique accessible par les solveurs temporels implémentés. En particulier, des schémas temporels implicites d'ordres élevés (type Rosenbrock-Wanner) ont été inclus dans la librairie. Tous les solveurs possèdent un adaptateur de pas de temps. Ces deux dernières fonctionnalités (solveurs implicites et adaptateur de pas de temps) rendent le logiciel adapté à la résolution de problèmes fortement non-linéaires.
Les différences finies ont été choisies pour leur côté versatile : cette méthode est capable de discrétiser n'importe quelle équation aux dérivés partielles indépendamment de leur structure. Étant une méthode intrinsèquement locale, elle mène à un système numérique très creux que les algorithmes actuels sont capables de résoudre efficacement.
Le logiciel a été validé sur le problème de la rupture de barrage ainsi que sur celui du lac au repos, tous deux modélisés par une équation de Saint-Venant. Il a également été appliqué avec succès à la résolution de films ruisselants couplés aux transferts de chaleur modélisés par une approche intégrale, ainsi qu'à des problématiques d'écoulement de gouttes modélisé par l'équation de la lubrification.
La méthode des lignes est utilisée : les dérivées spatiales sont discrétisées pour mener à un système d'équations ordinaires. Il est alors possible d'utiliser un solveur temporel pour résoudre ce système.
Scikit-fdiff automatise ces étapes en effectuant symboliquement la discrétisation par différences finies. Cette discrétisation inclue la prise en compte de conditions limites complexes, et est capable de gérer un nombre arbitraire de dimensions. La matrice jacobienne associée est elle aussi obtenue par calcul formel, évitant son approximation numérique. Ces formes symboliques sont ensuite traduites en routine numérique accessible par les solveurs temporels implémentés. En particulier, des schémas temporels implicites d'ordres élevés (type Rosenbrock-Wanner) ont été inclus dans la librairie. Tous les solveurs possèdent un adaptateur de pas de temps. Ces deux dernières fonctionnalités (solveurs implicites et adaptateur de pas de temps) rendent le logiciel adapté à la résolution de problèmes fortement non-linéaires.
Les différences finies ont été choisies pour leur côté versatile : cette méthode est capable de discrétiser n'importe quelle équation aux dérivés partielles indépendamment de leur structure. Étant une méthode intrinsèquement locale, elle mène à un système numérique très creux que les algorithmes actuels sont capables de résoudre efficacement.
Le logiciel a été validé sur le problème de la rupture de barrage ainsi que sur celui du lac au repos, tous deux modélisés par une équation de Saint-Venant. Il a également été appliqué avec succès à la résolution de films ruisselants couplés aux transferts de chaleur modélisés par une approche intégrale, ainsi qu'à des problématiques d'écoulement de gouttes modélisé par l'équation de la lubrification.
