L'étude des écoulements tournants avec surface plane dans une de ses configurations la plus simple – un disque tournant au fond d'une cavité cylindrique fixe – a révélé une physique bien plus complexe qu'elle ne le laissait prévoir au premier abord.

De précédentes publications ont démontré expérimentalement (1,2) et numériquement (1,3) l'existence, pour cet écoulement, d'une instabilité annulaire dont le nombre de motifs est fonction du remplissage de la cavité et de la vitesse de rotation du disque.

Bien que nos résultats numériques soient en accord avec la littérature, nous observons des différences avec les expériences que nous avons menées au laboratoire, notamment sur le nombre de Reynolds critique auquel se déclenche l'instabilité. Après avoir écarté les possibilités d'un biais expérimental, nous nous sommes penchés sur la cohérence de la modélisation de la surface libre : dans les simulations numériques, l'état de surface est idéal (condition de « surface libre »), avec les gradients normaux des vitesses tangentielles nuls. Mais dans les expériences avec de l'eau, cette même surface est soumise à une contamination par simple contact avec l'air ambiant. En effet, on observe numériquement une grande sensibilité de l'écoulement en fonction de la condition limite appliquée à la surface.

L'influence de cette pollution a suggéré une nouvelle condition de surface, abusivement nommée «surface gelée », où la vitesse radiale du fluide à l'interface gaz-liquide est imposée nulle. Cette première approche a permis de faire apparaître numériquement un motif d'instabilité bien plus proche qualitativement des observations expérimentales, et de réduire sensiblement les écarts observés sur la valeur du nombre de Reynolds critique, pour de faibles rapports de forme. Le rapport de forme étant ici défini comme la hauteur de fluide au dessus du disque sur le rayon de celui-ci.

Cette condition artificielle étant difficile à justifier physiquement, nous avons proposé en seconde approche, une condition « hybride », construite comme une combinaison linéaire des conditions « surface libre » et « surface gelée », et introduisant un nouveau paramètre de contrôle α. La recherche du nombre de Reynolds critique en fonction de ce paramètre a permis de mettre en lumière un comportement inattendu de la courbe neutre avec l'apparition d'une seconde branche d'instabilité pour des valeurs de α proche de 1 (condition de « surface gelée »). Par ailleurs, la valeur minimale du nombre de Reynolds critique a pu de nouveau être abaissée, pour un un état de surface intermédiaire entre précédentes conditions de « surface libre » et « surface gelée ». Mais si cette condition hybride a permis des avancées, elle s'est avérée manquer de généralité.

Nous cherchons donc maintenant à simuler les effets de la pollution de surface de façon plus complète, en considérant le polluant comme un surfactant insoluble et en reliant sa concentration aux contraintes surfaciques. Nous testons pour cela des modèles ad-hoc reproduisant les variations de tension de surface en fonction de la distribution de concentration surfacique, qui est elle même calculée par une équation d'advection-diffusion.

1) Lopez et al., J. Fluid Mech. (2004), vol. 502, pp. 99–126

2) Poncet et Chauve, J. Flow Visual. Image Process 14, 85-105 (2007)

3) Cogan et al., J. Fluid Mech. (2011), vol. 672, pp. 521–544