Depuis quelques années, les nanomatériaux tels que les nanotubes de carbone ou les nanoplaques de graphène, dont la découverte en 2004 a notamment été récompensée par le prix Nobel en 2010, suscitent l'intérêt de la communauté scientifique de par leurs propriétés extraordinaires : résistance à la rupture 200 fois plus importante que l'acier mais 6 fois plus léger que ce dernier, extrêmement conducteurs, ... Les applications possibles sont extrêmement variées et ils représentent sans nul doute le futur de l'ingénierie marine. En raison de leur coût de production jusqu'ici trop importants, leur étude était négligée mais avec l'émergence de nouvelles techniques, l'étude et la maîtrise de leur comportement mécanique est devenu un enjeu crucial et prioritaire pour l'industrie. Cette présentation porte sur un aspect du doctorat obtenu en 2018 et ayant fait l'objet au cours de ce dernier de nombreuses publications scientifiques dans des revues internationales, à savoir la prédiction du comportement en vibration de nanomatériaux.

La particularité des nanomatériaux est que l'échelle considérée est différente de celle utilisée pour les matériaux classiquement utilisés en ingénierie. Ainsi, il est nécessaire d'adapter les théories traditionnelles afin de permettre la capture de ces effets d'échelle. En 1983, Eringen proposa un modèle phénoménologique au sein duquel il introduit un coefficient, dit de facteur d'échelle, décrivant les effets précédemment cités inhérents aux nanomatériaux. Celui-ci est calibré en utilisant un modèle discret comme référence. On montre alors que ce coefficient, supposé constant, dépend paradoxalement de la géométrie ou du chargement considéré. Par conséquent, l'approche d'Eringen n'est pas pertinente et il faut proposer des modèles alternatifs.

L'objectif de cette présentation est de développer, au travers d'approches dites continualisées, des modèles analytiques pour l'étude du comportement mécanique statique et dynamique de poutres et plaques à l'échelle nanoscopique soumises à des forces en compression. Les équations sont obtenues en appliquant un processus de continualisation aux équations aux différences finies du modèle discret, via notamment le développement en séries de Taylor ou les approximants de Padé. Pour ce faire, un nouveau modèle discret représentatif des plaques épaisses sera présenté. De plus, une comparaison des différents types de processus de continualisation sera faite. On montrera que les équations aux dérivées partielles peuvent également être obtenues via le principe variationnel donnant ainsi les conditions limites associées. La charge de flambage ainsi que les différentes fréquences propres sont dans ce cas les solutions des équations caractéristiques de chaque modèle.

Contrairement aux modèles d'Eringen, les approches continualisées mènent à un coefficient de facteur d'échelle intrinsèquement constant, déterminé par calibration avec la taille des éléments de la structure discrète. Par conséquent, les approches continualisées, en plus d'être particulièrement novatrices, sont bien plus pertinents. 

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