La plupart des simulations numériques des problèmes réels de mécanique sont souvent très coûteuses à la fois en temps de calcul et en capacité de stockage en mémoire. Aussi, depuis plus d'une décennie on remarque un fort engouement pour les méthodes de réduction de modèles (ROM) en mécanique. Une des méthodes la plus populaire pour construire les modèles réduits est basée sur la projection des équations du problème complet de départ (discrétisé ou non) sur une base réduite POD (Proper Orthogonal Decomposition). Cette approche est devenue maintenant très connue, nous ne la détaillerons pas ici. 

Pour des équations aux dérivées partielles dépendantes de paramètres, un des problèmes importants qui se pose en réduction de modèles via la POD est l'évolution de cette base en fonction des paramètres. Pour résoudre ce problème, il faut remarquer au préalable que le modèle réduit obtenu par projection sur une base POD, ne dépend pas de la base elle même mais du sous-espace vectoriel qu'elle engendre. Aussi, les modèles réduits peuvent être étudiés dans le cadre des variétés de Grassmann (une variété de Grassmann, est l'ensemble des sous-espaces vectoriels d'une dimension donnée d'un espace vectoriel fixé). C'est D. Amsallem et C. Farhat qui sont les premiers à avoir fait cette remarque et à en avoir tiré les conséquences en proposant un algorithme d'interpolation du sous-espace vectoriel engendré par une base POD pour un paramètre donné en fonctions de ceux connus pour d'autres paramètres (D. Amsallem and C. Farhat, AIAA Journal 2008).

Dans cette communication nous proposons deux nouvelles méthodes d'interpolation sur les variétés de Grassmann utilisant leurs structures riemanniennes afin de construire des modèles réduits paramétrés.

La première méthode est une généralisation de l'algorithme IDW (Inverse Distance Weighting) aux variétés de Grassmann. Elle présente l'avantage par rapport à l'algorithme proposé par D. Amsallem et C. Farhat de ne pas dépendre du choix d'un point de référence sur la variété de Grassmann. Cette méthode, dénommée IDW-G, est basée sur la minimisation d'une fonction quadratique en la distance géodésique aux points d'interpolation pondérée par des coefficients dépendant de l'inverse à la distance aux paramètres d'interpolation. Nous avons montré la convergence de notre méthode de minimisation sous des conditions assez raisonnables (R. Mosquera et al., AIMS Journal DCDSS serie S, 2019). La mise en œuvre sur des exemples d'écoulements autour d'un cylindre a montré la performance de l'approche proposée.

La deuxième méthode est une extension de la méthode de krigeage aux variétés de Grassmann. Cette méthode possède quelques similarités avec la méthode IDW-G dans la mesure où la valeur estimée de l'interpolé est cherchée également comme un barycentre pondéré. Cependant, les coefficients de pondération sont calculés de manière optimale en se basant sur les matrices de covariances statistiques construites à partir des distances géodésiques entre les points d'interpolation considérés.

Lors de notre exposé nous détaillerons ces deux méthodes et nous les comparerons sur quelques configurations d'écoulements à l'algorithme proposé par D. Amsallem et C. Farhat, cité plus haut.