Lorsqu'on traite des problème d'Interaction Fluide-Structure (IFS), il est nécessaire d'utiliser des maillages fins au voisinage de la structure afin de calculer correctement les efforts exercés par le fluide sur celle-ci, et il est aussi important d'utiliser des pas de temps petits pour prédire un comportement instationnaire du fluide et de la structure correct. Si on emploie des méthodes numériques classiques (éléments finis, volumes finis, différences finies), la parallélisation des codes basés sur ces méthodes n'est pas aisée, et les temps de calcul sont élevés.

La méthode de Lattice-Boltzmann (LBM) qui a été développée depuis une trentaine d'années permet de palier ce problème. Celle-ci s'applique à l'échelle mésoscopique intermédiaire entre l'échelle microscopique et macroscopique. Le lien entre les équations mésoscopiques (équation de Boltzmann) et macroscopiques (équations de Navier-Stokes) permettant de résoudre les équations macroscopiques par la résolution des équations mésoscopiques se fait par l'expansion de Chapman-Enskog ou la méthode des équations équivalentes développée par Dubois. La LBM a fait ses preuves pour des problèmes de mécanique des fluides aussi bien en présence d'un solide rigide dans l'écoulement que sans. Par la LBM, on calcule donc en chaque point du maillage des densités de probabilités d'avoir des particules à une vitesse donnée, à une position et à un instant donnés. Dans l'équation de lattice Boltzmann, une fonction d'équilibre qui s'obtient par calcul en partant de la Maxwellienne intervient. Cette fonction d'équilibre peut être amenée à changer lorsque l'équation macroscopique change. Pour résoudre et ce, quelque soit l'équation macroscopique, on fait une étape de collision puis une étape de streaming. Ensuite, on applique les conditions aux limites macroscopiques en les traduisant à l'échelle mésoscopique. Ainsi, des conditions de Dirichlet homogènes en vitesse se traduisent par le Bounce-Back. Il en résulte que l'on résout de façon explicite sur chaque nœud du maillage. La LBM est facilement parallélisable et la programmation sur GPU permet d'avoir des temps de calcul beaucoup plus rapides qu'avec les méthodes classiques parallélisées sur CPU. Un grand nombre de méthodes ont été développées pour résoudre des problèmes d'interaction fluide structure avec la LBM. Pour les écoulements en présence de solides rigides, la méthode du bounce back, la méthode d'extrapolation (ghost fluid method), et la méthode des frontières immergées ont été grandement utilisées. Pour les solides déformables, la méthode des frontières immergées est beaucoup employée.

Pour ces travaux, on souhaite résoudre un problème d'IFS où le solide est élastique et se déforme sous l'action du fluide. Pour cela, on traite un problème diphasique en assimilant le solide élastique à un fluide. En LBM, les méthodes utilisées dans la littérature pour traiter des problèmes diphasiques sont soit l'équation de Cahn-Hilliard, soit l'équation d'Allen-Cahn, soit le modèle de Shan-Chen. Pour la résolution de ce problème diphasique, on se base sur Cahn-Hilliard. Ainsi, cela permet de se ramener à une résolution de l'équation de Navier-Stokes pour le solide. Le fait que le fluide se comporte comme un solide est assuré en ajustant correctement les paramètres de Cahn-Hilliard. On traite ainsi le solide en Eulérien tout comme le fluide et on résout tout en LBM. Le code ainsi construit peut être facilement parallélisé et peut tourner en un temps de calcul faible sur des cartes graphiques. Pour prendre en compte les déformations, on a développé au niveau théorique plusieurs méthodes. Les résultats obtenus avec cette approche basée sur la LBM en diphasique sont présentés dans ce travail pour le cas de la cavité entraînée dans laquelle un solide élastique se déforme sous l'effet de l'écoulement.