Dans ce travail, notre ambition est de construire de nouveaux outils théoriques pour modéliser les systèmes dissipatifs dynamiques dans un cadre géométrique cohérent, avec en arrière-plan des approches numériques. La dynamique classique est généralement traitée dans le monde des fonctions lisses tandis que la mécanique des systèmes dissipatifs, généralement non réguliers, relève de celui des fonctions non différentiables. L'objectif est d'établir des fondations solides pour créer des ponts entre ces deux mondes qui s'ignorent l'un l'autre.

Les systèmes dynamiques réels sont sujets à des pertes d'énergie. Pour les systèmes non conservatifs, la perte résulte des sollicitions extérieures. Leur comportement peut être représenté par le principe de moindre action de Hamilton. Pour les systèmes dissipatifs, la cause de perte d'énergie est interne (collisions, frottement, viscosité, plasticité, rupture). Le principe variationnel d'Hamilton étant inopérant pour de tels systèmes, nous en proposons un autre qui est basé sur deux fonctions, le Hamiltonien, différentiable, et un potentiel de dissipation, non différentiable mais convexe. L'espace de phase est muni d'une forme symplectique. Pour un milieu continu, les variable inconnues sont des champs et le gradient symplectique (ou champ de vecteur hamiltonien) doit être calculé au sens du calcul des variations. Les vitesses dans cet espace sont décomposées en parties réversible et irréversible. Grâce au concept de sous-différentiel symplectique, nous proposons une écriture les lois de comportement dissipatives en dynamique. Nous introduisons également une transformée de Fenchel symplectique. 

Sur cette base, nous proposons une version symplectique du principe de minimum de Brezis-Ekeland-Nayroles (BEN). La fonctionnelle est construite à partir du Hamiltonien, du potentiel de dissipation, de sa transformée et de la forme symplectique. Son minimum est atteint pour l'évolution naturelle du système et sa valeur est zéro. Nous avons appliqué ce formalisme à l'élastoplasticité et l'élastoviscoplasticité standard en petites déformations, ce qui conduit à une fonctionnelle à deux champs, ceux de déplacement et de contrainte. Sur cette base, nous avons développé des applications numérique par éléments finis dont nous montrerons quelques exemples. La conservation de la quantité de mouvement est assurée a priori grâce à la méthode de Schaefer. Le principe de BEN étant un principe d'espace-temps, il permet d'avoir une vue cohérente de l'évolution globale du système en calculant simultanément tous les pas de temps. Contrairement au méthodes pas-à-pas, il ne nécessite pas le choix d'un intégrateur temporelle sophistiqué. 

Cette fonctionnelle peut être généralisée naturellement à la plasticité non associée grâce au bipotentiel. Nous discuterons également la forme générale que devrait prendre une loi de comportement en dynamique dans le cadre symplectique.