En mécanique des milieux continus, la notion d'invariance des lois de comportements (par rapport à l'observateur) joue un rôle fondamental. Cette objectivité se traduit mathématiquement par l'action du groupe des rotations sur les tenseurs de structure qui apparaisent naturellement dans la modélisation en mécanique.

Le problème mathématique sous-jacent est donc l'étude d'une représentation linéaire du groupe des rotations sur un espace de tenseurs. En pratique, deux questions importantes surgissent: la description des orbites (sous l'action du groupe des rotations) de ces tenseurs ainsi que la description de leurs classe de symétrie. Si la réponse à ces questions est triviale tant qu'on se limite à des matériaux isotropes, ces descriptions effectives dans le cas anisotrope est beaucoup plus délicate.

C'est la théorie classique des invariants et la géométrie algébrique qui permet de donner des réponses rigoureuses sur le plan mathématique à ces problèmes. Si la description exacte des classes de symétrie du tenseur d'élasticité a été obtenue par Forte-Vianello en 1996, une base d'intégrité minimale constituée de 297 invariants n'a été définitivement obtenue qu'en 2017 et une description algébrique complète des classes de symétrie qu'en 2018.

Dans cet exposé, je présenterai les derniers développements sur les outils mathématiques qui ont permis de résoudre ces problèmes. J'introduirai quelques notions comme les formes binaires et l'application de Cartan qui permettent effectivement de calculer des bases d'invariants de tenseurs. J'étendrai la notion d'algèbre d'invariants à celle d'algèbre de covariants d'une représentation tensorielle.

Cette notion plus générale de covariant conduit à la définition de nouvelles opérations tensorielles, comme le produit vectoriel généralisé, ce qui permet de décrire ces invariants ou covariants sous une forme compacte et lisible.

Ces outils seront utilisés pour décrire de manière algébrique simple les classes de symétrie d'un tenseur de structure. On obtiendra par exemple, la description explicite complète des huit classes de symétrie du tenseur d'élasticité à l'aide de covariants.