Les questions fondamentales de modélisation des milieux microstructurés sont abordées ici à partir de systèmes élastoplastiques unidimensionnels. Le but est d'établir, au moins pour un problème structurel uniaxial assez élémentaire, un pont entre la mécanique du système discret de référence et celle d'un milieu continu élastoplastique non local. Il est actuellement admis que les modèles mécaniques doivent être formulés dans un cadre non local, afin d'obtenir des résultats cohérents, notamment lors de la modélisation numérique de phénomènes de radoucissement [1].

Cependant, durant les trente dernières années, la justification de la non localité en lien avec la physique du matériau et la détermination exacte de la longueur caractéristique associée ont été, et sont toujours débattues. Une justification théorique basée sur des arguments micromécaniques est nécessaire pour cette modélisation non locale [2]. Notre étude montre que la source de non localité à l'échelle du volume observé peut provenir du caractère discontinu ou discret du matériau à une échelle inférieure. Une détermination analytique de la longueur caractéristique associée à cette non localité est proposée en fonction de la longueur des éléments périodiques constitutifs d'une chaîne microstructurée.

Le comportement statique en flexion d'un réseau discret périodique est d'abord étudié. Ce système est constitué d'éléments rigides de longueur identique liés entre eux par des rotules élastoplastiques au comportement linéaire en écrouissage puis en radoucissement. En élasticité pure, ce système correspond à la chaine de Hencky [3]. Comparable à une poutre micro-structurée, encastrée à une extrémité, cette chaine est soumise à un effort monotone transversal, uniformément réparti ou ponctuel, jusqu'à la rupture. Les phénomènes de localisation du radoucissement sont observés à l'échelle discrète du système étudié, qui est ici une généralisation du système de Hencky étendu au cas élastoplastique bilinéaire.

La mise en équation du comportement mécanique de ce système correspond à la formulation en différence finie d'une poutre continue en flexion. La solution exacte de la réponse au droit des nœuds de ce réseau discret peut d'ailleurs être obtenue en résolvant analytiquement les équations aux différences correspondantes. Un modèle continu non local est ensuite construit à partir des ces équations aux différences en utilisant une procédure de continualisation. Techniquement, cette procédure utilise un développement asymptotique de l'opérateur discret apparaissant dans les problèmes formulés en différences finies pouvant conduire à des opérateurs différentiels d'ordre supérieur. La formulation de la loi constitutive de ce modèle correspond alors à une loi non locale au sens d'Eringen [4], dont la longueur caractéristique associée dépend de la longueur des cellules élémentaires constituant le réseau. Associée à des conditions aux limites de type cohésive, le système discret de référence est fidèlement représenté par ce modèle continu non local sur l'ensemble du cycle de chargement, en phase d'écrouissage puis de radoucissement [5].

Pour clore cette étude, une analogie avec une chaine axiale constituée d'éléments périodiques élastoplastique soumis à un gradient d'effort normal est également considéré. La distribution des efforts normaux appliqués le long de cette chaîne est ici identique à celle d'une fibre tendue dans la section d'une poutre en flexion dans les configurations de chargement précédente. La méthode de continualisation fait apparaître dans les deux configurations étudiées une non localité. Un modèle continu non local totalement couplé a été ainsi développé sur la base d'arguments physiques liés à la microstructure de la matière. Le terme de non localité introduit dans le modèle de plasticité non locale est ici rigoureusement identifié par rapport à la taille des éléments constitutifs de la chaîne axiale élastoplastique de référence.

Naturellement, une généralisation du modèle axial unidimensionnel peut être envisagée à l'avenir pour des problèmes bi ou tridimensionnels de modélisation continue non locale.