Cette recherche scientifique propose une application fondamentale de la Théorie Constructuale développée par le prof. Adrian BEJAN de Duke University afin de prouver, d'un point de vue mathématique, que le principe de travail maximal utilisé par la théorie de la plasticité des matériaux peut être considéré comme une conséquence et solution d'un problème général d'optimisation variationnelle. Selon la première et la deuxième loi de la thermodynamique, le principe de la Théorie Constructuale cherche à les compléter avec le principe de la tendance naturelle de tout système de taille finie à minimiser les pertes et à maximiser l'entropie afin d'évoluer vers une configuration spatio-temporelle optimale.

Conformément à cette théorie, «tout système cherche à avoir une évolution ou un écoulement de plus en plus facile dans le temps avec une distribution spécifique de ses imperfections afin de maximiser l'entropie et de minimiser les pertes». En ce sens, en ce qui concerne le processus de déformation plastique, tout écoulement de matériaux avec des conditions aux limites et de chargement bien spécifiées sont ceux qui minimisent la somme des puissances dissipés de déformation et frottement. Ainsi, toutes les variables mécaniques correspondantes de l'état mécanique réel (vitesses, contrainte, déformation, vitesse de déformation) sont celles qui minimisent la puissance totale dissipée. On peut alors obtenir un problème variationelle de minimisation sous contraintes. En exploitant le principe de puissances virtuelles on montre au final que le principe de travail maximal, utilisé notamment en plasticité des métaux, est une conséquence d'un problème de minimisation sous contraintes obtenu à partir de la Théorie Constructuale. Ceci généralise l'application à tout type de milieux continu et permet de prouver la forme équivalente pour les contraintes de frottement ensemble avec les propriétés de convexité à la fois du potentiel plastique et du potentiel de frottement. Les lois d'écoulement associées à un potentiel deviennent ainsi les seules à pouvoir respecter l'ensemble des principes de la thermodynamique.

Des applications dans le cas d'une compression plane et d'un écrasement cylindrique montre la faisabilité de la formulation du problème de minimisation proposée pour pouvoir trouver une solution analytique. Afin de valider l'ensemble de la théorie présentée, des comparaisons sont effectuées en utilisant les analyses analytiques classiques basée sur les théorèmes de bornes supérieure et inférieure, la méthode des tranches et par une modélisation numérique éléments finis (MEF).

La Figure 1 illustre bien sous forme d'un diagramme l'obtention du « Principe » de Travail Maximal comme conséquence des principes thermodynamiques générales et de la Théorie Constructuale avec formulation d'un problème d'optimisation variationelle ensemble avec la preuve de la convexité des potentiels plastiques et de frottement, voire du théorème de borne supérieure et du théorème de borne inférieure. De plus il est montré du point de vue mathématique l'équivalence du problème de minimisation obtenu à partir du principe de la Théorie Constructuale avec le théorème de borne supérieure.