L'analyse des tolérances géométriques des systèmes hyperstatiques consiste à résoudre la fermeture de boucles de contacts dans lesquels les degrés de liberté sont supprimés de manière redondante. Un des moyens pour y parvenir est d'utiliser des opérations sur des Ensembles De Contraintes (EDC) opérandes caractérisant non seulement les variations géométriques des pièces constitutives mais aussi entre les pièces potentiellement en contact. Ces opérations sont la somme de Minkowski et l'intersection. Une somme est requise pour les architectures de contacts en série alors qu'une intersection l'est pour les architectures de contacts en parallèle. En réduisant l'architecture d'un système mécanique à l'aide d'une combinaison de sommes et d'intersections, il est possible de déterminer la position relative entre deux surfaces de deux pièces quelconques d'un système mécanique par un EDC résultant. L'inclusion de cet ensemble résultant dans un EDC fonctionnel dérivant d'une exigence fonctionnelle simule la conformité d'un système mécanique. Le but de cet article est de montrer comment formaliser cette inclusion avec des ensembles de contraintes conformés à des polyèdres prismatiques. Le formalisme du polyèdre prismatique permet de décomposer un ensemble opérande de dimension 6 (3 rotations, 3 translations) en une somme d'un ensemble borné (polytope) et de droites. Le polytope caractérise les limites des déplacements bornés, dans un sous espace affine dont la dimension est inférieure à 6. Ces déplacements sont limités par des tolérances dans les pièces ou des jeux dans les liaisons. La somme des droites caractérise le sous-espace affine généré par le degré d'invariance d'une surface ou bien le degré de mobilité d'une liaison. Une des difficultés en tolérancement est de différencier les déplacements bornés des déplacements non bornés théoriquement illimités. Le polyèdre prismatique permet d'intégrer les déplacements bornés et les déplacements non bornés dans le même modèle.

Ce papier présente la caractérisation de l'inclusion d'un polyèdre prismatique dans un autre polyèdre en dimension 6 dans le cas où les deux polytopes sous-jacents n'ont pas la même dimension. Cette méthode présente l'avantage de détecter si l'inclusion dépend ou non d'une mobilité du système. Si c'est le cas, cela traduit l'impossibilité de satisfaire l'exigence. Si ce n'est pas le cas, l'inclusion peut être quantifiée. Cela ouvre la voie à une optimisation du remplissage du polyèdre fonctionnel permettant une optimisation des tolérances et des jeux. Ce travail repose sur des hypothèses de solides infiniment rigides et de linéarisation des déplacements en petits déplacements permettant la manipulation de contraintes linéaires. Une application sur un exemple simple illustrera ce travail.